UFO

$\max(X,Y)=10^{14}$ より全探索せずに判定する方針を取ります。

$x$ 方向の移動が $y$ 座標の答えに影響することはないので、$x$ 方向の移動と景品の座標 $X$ だけに着目して説明します。

ボタン1を $n$ 回、ボタン2を $m$ 回、押したときUFOキャッチャーの $x$ 座標は $x_u=nA-mB$ へ移動します。 一般に、一次不定方程式 $nA + mB = \gcd(A,B)$ は拡張ユークリッド互除法で必ず整数解 $(n,m)$ を求めることができ、景品の座標が $X = k \gcd(A,B)$ であれば良いと言えます。 景品の座標が $X \neq k \gcd(A,B)$ のとき、どんな操作をしても景品を得ることが出来ないので "No" を出力します。また $y$ 座標についても同様の処理をします。最大公約数は対数時間で処理できるため、計算量 $O(\log A)$ で判定することが出来ます。