解説

#、. をそれぞれ 1、0 に直して $S$ を反転します。すると操作は単に $S\leftarrow (S+1)\bmod 2^N$ を $K$ 回行う、というのを冗長に書いているだけだと分かります。 よって、適切に数値として $S$ に $K$ を加えたのち文字列に復元することで、$O(N)$ でこの問題が解けました。

余談

yukicoder contest 316 の A に置こうとして、ギャグが過ぎるので没にした問題です。