Spherical Tiling

球面上を、同じ大きさの「球面上の正 角形」 種類で被りなく、埋め尽くすように敷き詰めることは可能ですか。

ただし、球面上の多角形の定義は以下の通りとします。

• 球面と、球の中心点を通る平面が重なってできる円周を「大円」と呼びます。（例えば、地球上の経線や赤道は大円ですが、北緯40度線などは大円ではありません。）
• 球面上で、 点を通る大円の弧のうち長くない方を「球面上の線分」とし、球面上の異なる 点を順に「球面上の線分」で結んだとき囲まれる図形のうち、面積が球面の表面積の 分の 以下である方を「球面上の 角形」とします。
• ただし、この時できる 個の線分が、端点以外で交わっている場合および、連続する つの線分が同一の大円上に存在する場合には「球面上の 角形」とは呼ばないことにします。 （後者は、平面で例えて言えば、 角形の辺上の点を「 度の角」と主張して 角形として扱うことはしない、という意味です。）
• さらに、この 個の頂点を一つずつずらすように回転させたとき、元の図形と完全に重ねることの出来る場合、これを「球面上の正 角形」とします。

【参考図】

• 入力はすべて整数である。

N

与えられた条件を満たすように敷き詰めることが可能であれば Yes を、不可能であれば No を出力してください。

3

Yes

球を 空間に置き、原点を中心としましょう。

この時、球の表面のうち の部分は球面上の正三角形です。（ 平面、 平面、 平面は全て球の中心、すなわち原点を通ります。） また、対称性より、このような部分は の符号の組み合わせ 通りに対して全て大きさが等しいことも分かります。よって、球面上を正三角形で埋め尽くすことができています。

なお、この時例えば で球を（北半球と南半球のように）二分割し、 部分だけを、 軸を軸として自由に回転させた形も、題意を満たす敷き詰めになっています。