解説

答えは、 $(A,B)=(2,2)$ のみです。 直感的に自明と思った方も少なくないと思いますが、せっかくですので、どのように考えるかの一例を丁寧に記してみます。

考察のポイント

①：条件を細かく分けて見てみる

条件は $A+B=A\times B$ ですが、和と積の関係はもう少し解像度を上げると「和が大きい」「等しい」「積が大きい」の $3$ 通りです。 小さい範囲で試してみると、どちらかが $1$ の場合は「和が大きい」、それ以外は（ $(2,2)$ を除いて）「積が大きい」であることが分かります。 実際、「どちらかが $1$ の場合」と「どちらかが $3$ 以上の場合」という場合分けで上記の答えの正当性を証明できます。 このように、条件をやや細かく見ることで、今回であれば「なぜ成り立っていないのか」の本質に近づき、一般的な場合に証明する手掛かりをつかむことが可能です（この問題でそこまでする必要はないと思いますが）。