結論から述べると，答えは月日です．
各日付の進行度と分数表記の差の絶対値を第1要素，その日の日付を第2要素に持つ配列を作り， 第1要素の昇順にソートし，配列の1つめの第2要素を出力すればよいです
実装例(Python3)
D=[31,28,31,30,31,30,31,31,30,31,30,31]
A=[]
cnt=0
for m in range(1,12+1):
for d in range(1,D[m-1]+1):
cnt+=1
A.append([abs(m/d-cnt/365),str(m)+'/'+str(d)])
A.sort()
print(A[0][1])