解説

1. $1\leq k1,k2,.....kn\leq t \leq m$を満たす$(k1,k2,......kn,t)$の組み合わせは

• $t$を固定にして考えると $\displaystyle\sum_{k=1}^{m}k^n$

• $k1,k2,...kn$を固定して考えると $\displaystyle\sum_{k1=1}^{m}\sum_{k2=1}^{m}...\sum_{kn=1}^{m}(m+1-max(k1,..kn))$

  よって $\displaystyle\sum_{k=1}^{m}k^n=\displaystyle\sum_{k1=1}^{m}\sum_{k2=1}^{m}...\sum_{kn=1}^{m}(m+1-max(k1,..kn))$ から $\displaystyle\sum_{k1=1}^{m}\sum_{k2=1}^{m}...\sum_{kn=1}^{m}{max(k1,..kn)}=(m+1)m^n-\sum_{k=1}^{m}k^n$

2. $m\geq k1,k2,.....kn\geq t\geq 1$を満たす $(k1,k2,......kn,t)$の組み合わせは

• $t$を固定にすると $\displaystyle\sum_{k=1}^{m}(m-k+1)^n=\sum_{k=1}^{m}k^n$

• $k1,k2,...kn$を固定すると $\displaystyle\sum_{k1=1}^{m}\sum_{k2=1}^{m}...\sum_{kn=1}^{m}min(k1,..kn)$

  よって $\displaystyle\sum_{k1=1}^{m}\sum_{k2=1}^{m}...\sum_{kn=1}^{m}min(k1,..kn)=\sum_{k=1}^{m}k^n$

$\displaystyle\sum_{k1=1}^{m}\sum_{k2=1}^{m}...\sum_{kn=1}^{m}max(k1,..kn)+min(k1,..kn)=(m+1)m^n$

実装例 (Python)