D - Triplet

答え

答えは $2N+1$ です。

証明

$a=0$ または $b = 0$ である場合

一般性を失わず $a =0$とします。 $2$ 番目の条件を考えると、 $a = 0$ を代入して $b^3=c^3$ が必要十分ですが、これは $b=c$ と同値です。

よって、条件を満たす組は $(a, b, c) = (0, i, i), (i, 0, i) \ (0 \le i \le N)$ という形で表される組に限ります。 $(0, 0, 0)$ の重複に気をつけて、これは合計で $2N+1$ 個であると分かります。

$a > 0$ かつ $b > 0$ である場合

フェルマーの最終定理より、正整数の組 $(a, b, c)$ であって $a^3 + b^3 = c^3$ を満たすものは存在しません。よってこの場合、条件を満たす組の個数は $0$ 個です。

まとめ

以上より、答えが $2N+1$ であることが分かりました。