Subtract

数列$A$の要素の最大公約数が答えとなります．
$N$個の数の最大公約数を求めるため，計算量は$\mathrm{O}(N \log A)$となります．

以下簡単な証明です．

$x \lt y$である任意の$2$つの自然数$x$，$y$について，$\gcd(x,y)=\gcd(x,y-x)$が成り立ちます．証明は省きますが，これは非常に有名な定理であり，ユークリッド互除法でも利用されています．

上記を踏まえた上で，問題の"操作"を行う前と後での，数列の全要素の最大公約数（以下GCD）について考えます．
取り出した要素を$x$，$y$とするとき，$x$，$y$以外の要素のGCDが変化しないのは自明です．また，上の定理から，$\gcd(x, y)=\gcd(x,y-x)$であるため，取り出した$2$数についてもGCDが変化しないことがわかります．（$x=y$ のときの片方を削除する操作でもGCDが変化しないことは自明です．）

従って，最後まで数列$A$のGCDは変化しないため，最後に残る数は必ず，最初の数列$A$のGCDの値と等しくなります．

※ 結果がGCDになることがわからなくても，任意の $2$ つの数字を取り出して $y\%x$　，$x$ を戻すことを愚直にやっても同じ計算量になるため，問題ありません．

コード例（Python）