Takoyaki Game

ポイント

$1,3,7$が全て奇数であることに注目します。

$N$が奇数の時

1ターン目について、先手のAliceは$N$が奇数の状態でターンが回ってきます。Aliceは操作によって、$N$から奇数を引きます。結果、$N$が偶数になってターンが終わります。 続く2ターン目について、後手のBobは$N$が偶数の状態でターンが回ってきます。Bobは操作によって、$N$から奇数を引きます。結果、$N$が奇数になってターンが終わります。 2ターンが終わると$N$が奇数に戻るため、3ターン目以降もAliceは奇数の$N$を偶数に変え、Bobは偶数の$N$を奇数に変えます。

このゲームでは、たこ焼きが$0$個の状態で自分のターンを終了できれば勝ちになります。$0$は偶数であるため、ゲームに勝利するためには$N$を偶数にしてターンを終了させる必要があります。 しかし、Aliceのターンは必ず$N$が偶数の状態で終了し、Bobのターンは必ず$N$が奇数の状態で終了します。よってBobは絶対にゲームに勝利することができず、Aliceは必ずゲームに勝利します。

$N$が偶数の時

$N$が奇数の時と似たような議論によって、必ずBobが勝つことを確認できます。