Each Digit Comparison

まず、 $C$ が $A$ と $B$ のどちらであるかを考えます。
$C$ は $A,B$ のうちの小さいほうなので、 $S$ の最も左にある不等号を調べ、それが < なら $A \lt B$ より $C = A$ 、 > なら $A \gt B$ より $C = B$ です。

$C = A$ のときについて考えます。
このとき、この問題は $B$ が何通りあるかを求めることになります。そこで、 $B$ の各桁について何通りあるかを考えます。
$B,C$ の左から $i$ 番目の桁をそれぞれ $B_i,C_i$ とします。

• $S_i$ が = のとき
  $B_i = C_i$ の $1$ 通りしかありません。
• $S_i$ が < のとき
  $C_i \lt B_i \le 9$ の $(9 - C_i)$ 通りあります。
• $S_i$ が > のとき
  $0 \le B_i \lt C_i$ の $C_i$ 通りあります。

そして、各桁で出た答えをすべて掛けて $10^9+7$ で割った余りが答えになります。

また、 $S_i$ の不等号の向きを変え、 $A$ と $B$ を置き換えて考えることで、 $C = B$ のときも同様に答えを求めることができます。