解説

$H > W$ のときは、$H$ と $W$ を入れ替えて考えても問題ありません。以下、$H \leq W$ の場合について考えます。

(1) $H=1$ のとき

$H=1$ のときは、マス $(1,1)$ から動くことができません。したがって、答えは $1$ です。

(2) $H=2$ のとき

$H=2$ のときは、$k$ を非負整数として、マス $(1, 4k+1)$ もしくはマス $(2, 4k+3)$ と表されるマスにのみ到達できます。
したがって、答えは $\lceil \frac{W}{2} \rceil$ です。

(3) $H, W = 3$ のとき

$H, W = 3$ のときは、マス $(2, 2)$ 以外のすべてのマスに到達できます。
したがって、答えは $8$ です。

(4) $H \geq 3, W \geq 4$ のとき

$H \geq 3, W \geq 4$ のときは、すべてのマスに到達できます。したがって、答えは $HW$ です。以下、そのことを示します。
$H = 3, W = 4$ の場合に、すべてのマスに到達できることが確かめられます。これにより、「$3 \times 4$ マスの領域のうちどれか $1$ マスに到達できれば、残りのマスすべてに到達できる」ということが言えます。
$H \geq 3, W \geq 4$ のとき、マス目全体を $3 \times 4$ マスの領域の重ね合わせで埋め尽くすことが可能であるため、すべてのマスに到達できます。