解説

$A$ を昇順に並び替えたものを $B$ すると，$P$ が条件を満たすことは $B=(A_{P_1},A_{P_2},\dots,A_{P_N})$ が成り立つことと同値です．
$A$ の中で値が $X$ であるようなものが $A_{i_1},A_{i_2},\dots,A_{i_c}$ の $c$ 個であるとします．
$B$ においては $X$ は連続して $c$ 個並んでおり，ある $j$ について $B_j=B_{j+1}=\cdots=B_{j+c-1}=X$ のようになっています．
よって，$(P_{j},P_{j+1},\dots,P_{j+c-1})$ は $(i_1,i_2,\dots,i_c)$ の並び替えになっている必要があり，そのような並び替えは $c\,!$ 通り存在します．
以上をすべての $X$ について考えることで答えを求めることができます．
すなわち，$A$ には $M$ 種類の数 $X_1,X_2,\dots,X_M$ が含まれるとし，$X_i$ が含まれる個数を $c_i$ とすると，答えは $c_1!\,\times c_2!\,\times\cdots\times c_M!$ です．