この問題は考察を問います。

問題の処理を愚直に実装していては、あるケースによっては計 $O(|S|^2)$ ※かかってしまい、時間制限に間に合いません。
これは文字列の反転に対して大方 $O(|S|)$ を要するためです。では、どうすればよいでしょうか？

まず、$S$ に含まれる @ の個数が $1$ 個だけであったことを考えてみます。このときの添え字を $i$ とおきます。
問題文中にある「末尾までの連続部分文字列を反転する」ことは、言い換えれば「調べる添え字を反転させる」ことに相当します。

つまり $S_iS_{i+1}\dots S_{|S|}$ を反転すると、$S_{\bm {|S|}}S_{\bm {|S|-1}}\dots S_{\bm i}$ となりますが、ちょうど $i$ が $|S|$ の位置に来ていることがわかります。

さらに反転した文字列 $S_{{|S|}}S_{{|S|-1}}\dots S_{i}$ の中に @ が $1$ つ含まれていたとします。このときの添え字を $j$ とおきます。
この場合でも同じように、添え字を反転する方法を適用することができます。

例えば $j=|S|-1$ の場合、反転させる文字列は反転後の文字列 $S'$ の $i+1$ 文字目※2から $j$ 文字目までです。
便宜上、$S_{{|S|}}S_{\bm{j}={|S|-1}}\dots S_{i}$ として見て（ $j$ 文字目から末尾までの連続部分文字列を）反転させると、$S_{{|S|}}S_{\bm i}S_{\bm{i+1}}\dots S_{\bm{j=|S|-1}}$ となり、確かに添え字が反転していることがわかります。
これは @ が $2$ 個以上含まれている場合も同様に適用できます。

以上の考察から、「現時点で処理されていない @ の中で一番最初に登場する場所（添え字 $i$ とします）から、末尾までの連続部分文字列を反転する」処理は、次のように行うことで全体で $O(|S|)$ で行うことが可能です。

• 先頭の添え字 $f(=1)$ 、末尾の添え字 $b(=|S|)$ として、現在調べている文字が @ であったとき、
  • 現在調べた文字を含む @ の個数が偶数個であったら、調べる添え字を $b$ として、$b=|S|,|S|-1,|S|-2,\dots,f$ の順で次に登場する @ を探索する
  • 現在調べた文字を含む @ の個数が奇数個であったら、調べる添え字を $f$ として、$f=b,b+1,b+2,\dots,|S|$ の順で次に登場する @ を探索する

この場合の処理の終了条件は $f=b$ であることです。これはこの条件を満たしたら、次に調べる文字が存在しないことを意味します。
したがってこの問題を $O(|S|)$ で解くことができました。

解答例(C++):

※
例えば $S$ が @ と英小文字 $1$ 文字だけで構成されている場合などは、全体の処理を $1+2+\dots+(|S|-1)=\cfrac{1}{2}|S|(|S|+1)$ 回行わなければなりません。

※2
反転した後は、「調べる添え字」だけが反転することに注意してください。全体として見ると、反転する対象の文字の添え字は変化しません。

例えば $S=$ ab@cd@ek を考えてみます。最初に $3$ 文字目（「調べる添え字」に相当）を処理しますが、$1$ 回目の処理後の文字列は abke@dc となります。
$1$ 回目の処理は $\bm 4$ 文字目から末尾まで、$2$ 回目は $\bm 6$ 文字目から末尾までとなり、反転する対象の文字列の添え字は単調増加です。
対して「調べる添え字」は、$1$ 回目の処理は $f=3$ から $l=8$ に移り、$2$ 回目の処理は $l=8,7,6$ の順で探索し $l=6$（文字列の添え字 $5$ 文字目に相当）から $f=3+1=4$ に移ります。
ここでの $+1$ という操作は @ を答えとなる文字列に含めないようにしています。