選ばれたk枚に書かれている数字のうち、最大値をM、最小値をmとする。M−m=dとなる(m,M)の組は(0,d),(1,d+1),⋯(n−d−1,n−1)のn−d通りである。また、それぞれの場合について残りのk−2枚はm+1以上M−1以下の整数d−1個の中から選択されるため、その選び方はd−1Ck−2通りである。
よって、Nd=(n−d)⋅ d−1Ck−2=(k−2)!1⋅(d−k+1)!(n−d)⋅(d−1)!となるので、k−1≤d≤n−2においてNdNd+1=(d−k+2)(n−d)d(n−d−1) よって、
- Nd<Nd+1の時NdNd+1>1よりd<k−1n(k−2)
- Nd=Nd+1の時NdNd+1=1よりd=k−1n(k−2)
- Nd>Nd+1の時NdNd+1<1よりd>k−1n(k−2)
となるので、これを基にしてNdの増減を調べていく。
- k−1n(k−2)<k−1の場合、k−1≤d≤n−2で常にNd>Nd+1となる。
よって、Nk−1>Nk>⋯>Nn−1より、Nkが最大の時d=k−1
- k−1n(k−2)>n−2の場合、k−1≤d≤n−2で常にNd<Nd+1となる。
よって、Nk−1<Nk<⋯<Nn−1より、Nkが最大の時d=n−1
k−1≤k−1n(k−2)≤n−2の場合
k−1n(k−2)が整数の場合、それをmとすると
- k−1≤d≤m−1でNd<Nd+1
- d=mでNd=Nd+1
- m+1≤d≤n−2でNd>Nd+1
よって、Nk−1<Nk<⋯<Nm=Nm+1>Nm+2>⋯>Nn−1より、Nkが最大の時d=m,m+1
k−1n(k−2)が整数でない場合、その整数部分をmとすると
- k−1≤d≤mでNd<Nd+1
- m+1≤d≤n−2でNd>Nd+1
よって、Nk−1<Nk<⋯<Nm<Nm+1>Nm+2>⋯>Nn−1より、Nkが最大の時d=m+1
質問・誤りがある場合
Twitterに連絡ください。ID : @YS55749378