想定解

答えとしてあり得るのは「三角形」「四角形」「五角形」のいずれかです。
以下では「三角形」「五角形」となる場合を説明しており、
これら以外の場合は「四角形」となります。

• 三角形になる場合

以下のように、点$P$と点$R$を結ぶ線分が面上にあるとき、断面が三角形になります。

• 五角形になる場合

直線$DH$と、断面$PQR$の交点を$S$とします。
点$S$が辺$DH$上にない(立方体の外部にある)とき、断面が五角形になります。

点$S$の高さ$s$ (面$ABCD$からの距離) は、点$P,Q,R$それぞれの高さを$p,q,r$ とすると、
$PQ$と$SR$が平行であることから $q-p=r-s$ が成り立ち、$s$が求められます。

ただし、点$P$か点$R$のいずれかが辺の端にある場合は四角形になることに注意してください。

(便宜上、立方体を点$R$側から見た図になっています。)