H - Sugoroku Loop

便宜上マス目を 0-index で考え、以下マス目を $0, 1 \dots N-1$ とします。 この問題は次のような DP で解くことができます。

$dp[i][j] = i$ ターン目にマス目 $j$ にたどり着ける通り数

初期値を $dp[0][0] = 1$ とし、ここから各マスへの遷移を考えていきます。 移動できるのは $1 ～ 6$ マス、かつマス目は環状になっている為、 $dp[i][j]$ に対して、

$dp[i+1][(j+k)\bmod N] += dp[i][j](1 \le k \le 6)$

と遷移することができます。 知りたかったのは $T$ ターン後にマス目 $0$ にいる通り数なので、$dp[T][0]$ が答えになります。 計算量は $O(TN)$ です。