解説

結論から言うと，$X$ が $3$ の倍数ならば Bob さんが勝ち，そうでなければ Sakky さんが勝ちます．

$X$ が $3$ の倍数でないとき，Sakky さんが勝つことを示します．
以下のような戦略を取ることで Sakky さんは必ず勝利することができます．なお，合同式は $3$ を法として考えます．

• Sakky さんは $X\equiv 1$ のとき $k=0$，$X\equiv 2$ のとき $k=1$ を選んで操作を行う．書き換えた後の $Y$ は必ず $Y\equiv0$ を満たす．
• Bob さんは $Y\equiv0$ から操作を行うことになる．$Y=0$ ならば Bob さんの負けである．
  $Y>0$ のとき，どのように操作をしても書き換えた後の $Y$ は $Y\not\equiv0$ を満たす．
• Sakky さんは $Y\not\equiv0$ から操作を行うことになる．最初と同様，$Y\equiv 1$ のとき $k=0$，$Y\equiv 2$ のとき $k=1$ を選んで操作を行う．
• 以下同様

すなわち，上記の戦略によって，Sakky さんは必ず $Y\not\equiv0$ から操作を始め Bob さんは必ず $Y\equiv0$ から操作を始めることになります．
敗北するのは $Y=0$ から自分の操作を始めるときであり，これは必ず Bob さんの手番に回ってくることになります．
したがって，Sakky さんは必ず勝利することができます．

逆に $X$ が $3$ の倍数のときは，同じ戦略を Bob さんにやり返されてしまうため Sakky さんは負けることになります．

コンテスト中に証明まで思いつくのは難しいですが，$X$ の値が小さい時の結果を（Grundy数の計算やシミュレーションによって）列挙することで答えを閃くことは可能です．