解説

$N$ 種類中 $i$ 種類のグッズをすでに手に入れている状態で、 $i+1$ 種類目のグッズを手に入れるのに必要なガチャ回数の期待値 $E_i(0 \leq i \leq N-1)$は、 $1$ 回のガチャで $i+1$ 種類目のグッズを手に入れることのできる確率 $P_i$ の逆数に等しいので、 $\displaystyle \frac{1}{P_i} = \frac{N}{N-i}$ です。

各 $i$ について事象は独立であるため、答えは $\displaystyle C \times \sum_{i=0}^{N-1}E_i = C \times (\frac{N}{N} + \frac{N}{N-1} + ... \frac{N}{1})$ です。

この値は逆元計算を適切に行うことで $O(N)$ で求めることができます。

余談

幾何分布を知っていると解きやすいかもしれません。