解法

$S$の先頭の「o」の後に「x」がいくつあるかが重要です。
先頭の「o」の後に「x」が偶数個ある場合は、交代が偶数回起こるため、$A$が勝利します。
逆に奇数個ある場合は、$B$が勝利します。
また、$S$に「o」が含まれない場合も考える必要があります。

• $N=(奇数)$のとき

$A$さんが勝利します。
$A$さんは、$1$文字目に「o」を追加し、続く$(2k+1)$文字目は、$B$さんが決めた$(2k)$文字目と同じ文字を追加します。
これにより、$S=$o$+ ($ x $が偶数個ある文字列)$ とすることができます。
よって、$1$文字目の「o」を$A$さんが削除することができます。

• $N=2$ のとき

引き分けになります。
$A$さんが$1$文字目に「o」を追加したとき、$B$さんが$2$文字目に「x」を追加すると、$S=$ox となり、$A$さんが負けてしまいます。
よって$A$さんは負けないように$1$文字目に「x」を追加します。$B$さんが$2$文字目に「o」を追加すると、$S=$ xo となり、$B$さんが負けるため、
$B$さんは$2$文字目に「x」を追加します。よって、二人が最善を尽くしてプレイすると $S=$ xx となり、引き分けになります。

• $N=(4以上の偶数)$ のとき

$B$さんが勝利します。
$A$さんが$1$文字目に「o」を追加した場合は、$B$さんは$2$文字目に「x」を追加します。
その後は、$A$さんが追加した文字と同じ文字を追加することで、$S=$ox$+ ($ x $が偶数個ある文字列)$ とすることができます。
$A$さんが$1$文字目に「x」を追加した場合は、$B$さんは$2$文字目に「o」を追加します。
その後は、$(N-2)$文字目までは$A$さんと同じ文字を追加し、$N$文字目は、$(N-1)$文字目と異なる文字を追加します。
これにより、$S=$xo$+ ($ x $が奇数個ある文字列)$ とすることができます。
よってどの場合でも$B$が勝利することができます。